유한체적법 기반 수치기법

유체 역학의 지배 방정식인 Navier-Stokes 방정식은 비선형 쌍곡 편미분 방정식으로 일반해를 구하는 방법은 알려지지 않았다. 전산 유체 역학 분야(Computational Fluid Dynamics, CFD)는 지배 방정식의 엄밀해를 구하는 대신, 차분화된 식을 이용하여, 수치해를 구한다. 여기서 편미분 방정식의 수학적 특성 및 유동의 성격을 고려해서 차분법을 적용하는 점, 즉 적절한 수치 기법을 적용하는 것이 전산 유체 역학에서 가장 기초적이면서도 핵심적인 방법이다. 특히, 초음속 및 극초음속 영역의 유동 혹은 다상 유동이나 희박 유동 같이 보다 진보된 형태의 유동은 수치적으로 다루기 까다로운 점들을 가지고 있으며, 따라서 이를 해석하기 위해서는 강건하고 정확한 수치 기법이 필수적이다. 본 연구실에서는 높은 정확도를 유지하면서 강건하고 효율적인 수치 기법을 연구하고 있으며, 그 결과 강건한 Flux 기법 (RoeM, AUSMPW+, M-AUSMPW+)과 충격파 포착 기법(MLP) 등을 개발하였다.

Roe 수치 플럭스의 경우 충격파 및 급속한 팽창영역 전후로 충격파 불안정성이나 비물리적 팽창 충격파를 발생시킨다. AUSM/AUSM+ 수치 플럭스 또한 강한 충격파와 벽면 근처에서 수치적 불안정성을 보인다. 이에 대한 해법으로 물리적 현상을 반영한 다차원 수치 점성항을 최초로 적용하여 개발한 기법이 RoeM 기법과 AUSMPW+ 기법이며, 다른 수치 플럭스 기법들과 비교하였을 때 정확성, 강건성 측면에서 가장 우수한 것으로 평가 받고 있다.

Fig. 1. 궁형 충격파 유동의 밀도 그래프 및 중심선에서의 유동 값

Fig. 2. 초음속 모서리 유동의 밀도 그래프

위 그림 1은 초음속 궁형 충격파 유동을 Roe 수치 플럭스를 사용해 해석할 경우 나타나는 비물리적 현상을 명확히 보여준다. 이러한 Roe 수치 플럭스의 비물리적 현상은 그림 2의 초음속 모서리 유동의 해석결과에서도 확인할 수 있다. 반면에 RoeM 수치 플럭스는 다차원 수치 점성항을 도입하여 각각의 그림에서 볼 수 있듯이 강한 충격파 및 팽창파 주변에서의 비물리적 불안정성 현상을 해결하였고, 유동 해석 결과의 강건성과 정확성을 향상시켰다.

Fig. 3. 끝이 뭉툭한 쐐기 주변 초음속 유동의 압력 그래프

위 그림은 끝이 뭉툭한 쐐기 주변에서 형성된 충격파를 나타내는 압력 그래프이다. 이로부터 AUSMPW+ 수치 플럭스가 기존 AUSM+ 수치 플럭스에 비해 충격파를 보다 정확하게 포착하며, 벽면 주변에서의 수치적 불안정성 문제를 해결한 것을 확인할 수 있다.

MLP 기법은 수치기법 분야에서 1차원 유동 기반의 충격파 포착 알고리즘이 갖는 한계를 극복하고 다차원 유동 효과를 반영한 충격파 포착 기법이다. 이를 유한체적법 기반 정렬 및 비정렬 격자계에 대하여 적용함으로써 고속 유동 해석에서 강건석, 정확성 및 수렴성을 크게 개선하였다.

Fig. 4. 3차원 충격파 관 해석

위 그림은 본 연구실에서 개발한 M-AUSMPW+와 MLP5를 이용하여 점성관에서 충격파가 지나가면서 생기는 복잡한 유동을 계산한 결과이다. 관 끝에서 반사파가 발생하면서 충격파 및 반사파와 점성 경계층과의 상호작용으로 복잡한 와류 구조를 매우 정교하게 포착하고 있음을 확인할 수 있다.